Algebra lineal prof Paula Bustos
Este blogs esta destinado para estudiantes de álgebra lineal.
miércoles, 10 de marzo de 2010
domingo, 29 de noviembre de 2009
Bibliografia
Libros de Álgebra lineal
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- Bernard Kolman
- Proskuriakov, I Problemario
- Heinhold, Joseph, Bruno Reidmuller Determinantes y sistemas de ecuaciones
- Julia García Cabello
- Manuel Iglesias Cerezal problemas
lunes, 23 de noviembre de 2009
Producto Interior
Producto Interior
Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función que asocia un número real ‹u, v› a cada pareja de vectores u y en V de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u, v y w en V los escalares k.
‹u, v› = ‹v, u› Axioma de la simetría
2. ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› Axioma de aditividad
3. ‹ku, v›=‹u, kv › = k ‹u, v› Axioma de la homogeneidad
4. ‹u, u› ≥ 0 donde ‹u, u› = 0 si y sólo si u=0 Axioma de positividad
Fórmula
u= (u1 ,u2,….un) y v=(v1 ,v2,……,vn)
‹u, v›= u1 v1 +u2 v2+…..+un vn
Ejemplo
U=(1,2) V=(0,3)
‹u, v›= 1*0+2*3=0+6=6
Ejercicios
1.- Sea ‹u, v› el producto interior sobre R y u=(3,-2), v=(4,5) y w=(-1,6)
K=4
Encontrar
a) ‹u, v›=‹v, u› b) ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› c) ‹k u, v›=‹u, k v › = k ‹u, v›
2.- Calcular ‹u, v›
Propiedades del producto interior
1.- ‹0, v› = ‹v, 0›=0
2.- ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w›
3.- ‹k u, v›=‹u, k v› = k ‹u, v›
4.- ‹u- v, w › = ‹u, w› - ‹ v, w›
5.- ‹u, v- w › = ‹u, v› + ‹u, w›
Norma de un vector
Si v es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector ║u║ en V se denota por y y se define como:
u= (u1 ,u2,….un)
Comparando las fórmulas
‹u, v›= u1 v1 +u2 v2+…..+un vn
Se puede concluir que
║u║=‹u, u›1/2
Ejemplo
U=(1,2)
Si u y v son vectores en un espacio en V y k un escalar
1.- ║u║≥0
2.- ║u║= 0 si y solo si u=0
3. -║k u║ = 1k1 ║u║
4.- ║u+ v║≤║u║+║v║ desigualdad del triángulo
Distancia entre dos vectores
Se define como
Ejemplo
U=(1,2) V=(0,3)
Propiedades
1.- d (u,v)≥0
2.- d (u,v)= 0 si y solo si u=v
3.- d (u,v)= d (v,u)
De acuerdo a lo antes expuesto
Ejercicios
1.- Hallar el valor de la norma de los siguientes vectores
2.- Hallar la distancia entre los vectores
U=(-1,3) v=(3,0)
P=3+3x q= 2+4x-x2
3.- Suponer que u, v y w son vectores tales que;
‹u, v›=2 ‹u, w›= 5 ‹w, v›= -3 ║u║= 1 ║v║=2 ║w║=7
Hallar
‹u+ v, v + w› ‹2v-w, v-u›
║u+ v║ ║2w- v║ ║2u+ v-w║
Rango y Nulidad de una Matriz
Rango y Nulidad de una Matriz
La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).
Propiedad
Rango (A)= Rango (AT)
Teorema de la dimensión
Si es una matriz A con n columnas, entonces:
Rango (A) + nulidad (A) = n
El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente
Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma escalonada.
El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).
Ejemplo
Sea A. determinar su rango y nulidad
Por procesos elementales
–f1+f2→f2 ^ –f1+f3→f3 f2+f3→f3
Ejercicios
Calcule el rango y la nulidad de A
En cada caso usa la información que proporciona la tabla para encontrar la nulidad de Ay AT
a | b | c | d | e | f | g | |
Tamaño de A | 3x3 | 3x3 | 3x3 | 5x9 | 9x5 | 4x4 | 6x2 |
Rgo A | 3 | 2 | 1 | 2 | 2 | 0 | 2 |
viernes, 20 de noviembre de 2009
Base y Dimensión
Espacio Vectorial
Base y DimensiónSi V es cualquier espacio vectorial y S ={v1 ,v2,…….vn} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las siguientes condiciones:
- S es linealmente independiente
- S genera V
Ejemplo
El conjunto S={ v1,v2,v3,v4}, donde v1=(1,0,1,0),v2=(o,1,-1,2),v3=(0,2,2,1), V4=(1,0,0,1) es una base para R4
En primer lugar hay que demostrar que es linealmente independiente,
C1 v1 +c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 =0
Se puede efectuar como se realizó para independencia lineal construyendo la matriz. Es válido, además resolver el determinante puesto que una de las condiciones para formar la base es el número de vectores que la forman. Si el determinante es distinto de cero (0) se dice que es independiente lineal por lo tanto forman la base, mientras que el resultado si es igual a cero no forman base. (Recordar las propiedades de los determinantes)Resolver el determinante factible si la matriz generada posee una dimensión que lo permita, es decir menos cálculo que por otro método. La matriz generada siempre es cuadrada sino no sería base
Se realiza la eliminación guassiana –f1 +f4~f4
Se ha triangulado la matriz por lo tanto forman base.
La dimensión de un espacio vectorial no nulo es el número de vectores en una base V. Se simboliza dim V
Ejemplo
- La dimensión de R2 es 2, la dimensión de R3 es tres.
En el ejemplo de base se puede decir que dim V = 4
Espacio vectorial
Espacio vectorial
- Independencia Lineal.
Los vectores v1, v2, …..vn de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c1, c2,……..cn no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):
C1 v1 + c 2v2+……cn vn =0
En caso contrario se dice que v1, v2, …..vn son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c1 = c2=…….=.cn=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero. Ejemplo:
- Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si.
C1 (-1,1,0,0) + c2 (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)
-c1 -2c2 =0
C1+ 0c2 =0
C2=0
C2=0
La única solución de este sistema es c1 = c2=0 Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente:
Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior
-2f1 +f2 → f2
Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal.
- Considerando los vectores
p1 (t)= t2 + t + 2 p2 (t)= 2t2 + t p3 (t)= 3t2 + 2t + 2
son linealmente independientes o no
Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.
Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).
Podran encontrar mas ejercicios en el siguiente enlace.
Algebra lineal Bernard Kolman pág 301
miércoles, 18 de noviembre de 2009
Transformación Lineal
Transformación Lineal
Definición
Si T: V→W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W, si para todos los valores u y v y los escalares c, se define que
- T(u+v)=Tu+Tv
- T(cu)= cTu
En casos especiales T: V→V es decir el mismo espacio vectorialse llama operador lineal.
Propiedades
Si T: V→W
- T(0)=0
- T(-v)= -T(v)
- T(u-v)= T(u)-T(v)
Por medio de la definición de transformación lineal
1.- Sea V=(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones de primera derivada continuas sobre (-∞,∞) y W= F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞)
T: V→W
D(f) = fx'
T(f+g)= Tf +Tg(fx+gx)'= (fx)' +(gx)'
Esto se cumple
T(cf)= cT(fx)(cfx)'=c(fx)'
2.- Si T: Mnn→R
T(A)= A
- T(A+B)≠ T(A)+T(B)
- TcA ≠ cTA
Como no se cumplen ninguna de los dos axiomas, por lo tanto no es transformación lineal.
Ejercicios1.-Si T: Mnn→R
T(A)= tr A
2.- Si V→R donde V es un espacio con producto interior y Tu = ║u║.
Mas ejercicios
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