Combinación Lineal y dependencia lineal

Combinación Lineal

Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v₁, v₂,……….v_n
Si se puede expresar de la forma

W = k₁ v₁ + k₂ v₂ + k₃ v₃ +……………….+ k_n v_n

donde k_{1 ,} k₂ k₃ ………
k_n son escalares.
Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v_1
, v₂ ,v₃ …. v_n }

Ejemplo
1.-Todo vector v={a, b, c } en R³ se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos
i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)
v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck
2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R³. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.


Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:
W= k₁ u + k₂ v

1. 
   
   
   (9,2,7)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)
   
   
   (9,2,7)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂ ,4 k₂ ,2 k₂ )
   
   
   Igualando
   
   
   9= k₁ +6k₂
   2= 2k₁ +4k₂
   7 = -k₁ +2k₂
   Resolviendo el sistema k₁ = -3 k₂ = 2
   La respuesta es:

W= -3 u +3 v

(4,-1,8)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)

(4,-1,8)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂ ,4 k₂ ,2 k₂ )


Igualando


4= k₁ +6k₂
-1= 2k₁ +4k₂
8= -k₁ +2k₂

1. Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.
   
   

Ejercicio
1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v₁ v₂,v₃} donde
V₁=(1,0.0,1) v₂=(1,-1,0.0) v₃=(0,1,2,2)

1. V=(-1,4,2,2)
2. V =(1,2,01)
3. V=(-1,1,4,3)
4. V=(0.1.10)

2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

1. Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.
   
   

Ejercicio
1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v₁ v₂,v₃} donde
V₁=(1,0.0,1) v₂=(1,-1,0.0) v₃=(0,1,2,2)

1. V=(-1,4,2,2)
2. V =(1,2,01)
3. V=(-1,1,4,3)
4. V=(0.1.10)

2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

Independencia Lineal.

Los vectores v₁, v₂, …..v_n de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c₁, c₂,……..c_n no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):

C₁ v₁ + c ₂v₂+……c_n v_n =0

En caso contrario se dice que v₁, v₂, …..v_n son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c₁ = c₂=…….=.c_n=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero.

Ejemplo:
Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si.
Formando la ecuación

C₁ (-1,1,0,0) + c₂ (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)

-c₁ -2c₂ =0

C₁+ 0c₂ =0

C₂=0

C₂=0

La única solución de este sistema es c₁ = c₂=0
Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente:
Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior 

-2f₁ +f₂ → f₂

Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal.

2.- Considerando los vectores

p₁ (t)= t² + t + 2 p₂ (t)= 2t² + t p₃ (t)= 3t² + 2t + 2

son linealmente independientes o no

Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.

Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).
_{Algebra lineal Bernard Kolman pag 301}