domingo, 29 de noviembre de 2009

Bibliografia





Libros de Álgebra lineal
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    lunes, 23 de noviembre de 2009

    Producto Interior

    Producto Interior
    Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función que asocia un número real u, v› a cada pareja de vectores u y en V de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u, v y w en V los escalares k.
    u, v› = v, u Axioma de la simetría
    2. u+ v, w = u, w› + v, w› Axioma de aditividad
    3. ‹ku, v›=u, kv › = k u, v› Axioma de la homogeneidad
    4. u, u› ≥ 0 donde u, u› = 0 si y sólo si u=0 Axioma de positividad
    Fórmula
    u= (u1 ,u2,….un) y v=(v1 ,v2,……,vn)
    ‹u, v= u1 v1 +u2 v2+…..+un vn
    Ejemplo
    U=(1,2) V=(0,3)
    ‹u, v= 1*0+2*3=0+6=6
    Ejercicios
    1.- Sea ‹u, v el producto interior sobre R y u=(3,-2), v=(4,5) y w=(-1,6)
    K=4
    Encontrar
    a) u, v=v, u b) u+ v, w = u, w› + v, w› c) k u, v›=u, k v › = k u, v›
    2.- Calcular u, v›

    Propiedades del producto interior
    1.- 0, v› = v, 0=0
    2.- u+ v, w = u, w› + v, w›
    3.- ‹k u, v›=u, k v› = k u, v›
    4.- u- v, w = u, w› - v, w›
    5.- u, v- w = u, v› + u, w›
    Norma de un vector
    Si v es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector ║u║ en V se denota por y y se define como:
    u= (u1 ,u2,….un)

    Comparando las fórmulas
    u, v= u1 v1 +u2 v2+…..+un vn
    Se puede concluir que
    ║u║=u, u1/2
    Ejemplo
    U=(1,2)
    Si u y v son vectores en un espacio en V y k un escalar
    1.- ║u║≥0
    2.- ║u║= 0 si y solo si u=0
    3. -║k u║ = 1k1 ║u║
    4.- ║u+ v║≤║u║+║v║ desigualdad del triángulo
    Distancia entre dos vectores
    Se define como


    Ejemplo
    U=(1,2) V=(0,3)


    Propiedades
    1.- d (u,v)≥0
    2.- d (u,v)= 0 si y solo si u=v
    3.- d (u,v)= d (v,u)
    De acuerdo a lo antes expuesto


    Ejercicios
    1.- Hallar el valor de la norma de los siguientes vectores
    U = (-1,2) p=-2+3x+2x 2
    2.- Hallar la distancia entre los vectores
    U=(-1,3) v=(3,0)
    P=3+3x q= 2+4x-x2
    3.- Suponer que u, v y w son vectores tales que;
    ‹u, v=2 ‹u, w= 5 ‹w, v= -3 ║u║= 1 ║v║=2 ║w║=7
    Hallar
    ‹u+ v, v + w ‹2v-w, v-u
    ║u+ v║ ║2w- v║ ║2u+ v-w║

    Rango y Nulidad de una Matriz


    Rango y Nulidad de una Matriz
    La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).
    Propiedad
    Rango (A)= Rango (AT)
    Teorema de la dimensión
    Si es una matriz A con n columnas, entonces:
    Rango (A) + nulidad (A) = n
    El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente
    Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma escalonada.
    El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).
    Ejemplo

    Sea A. determinar su rango y nulidad

    Por procesos elementales
    –f1+f2→f2 ^ –f1+f3→f3 f2+f3→f3

    rango (A)= 2
    Ejercicios
    Calcule el rango y la nulidad de A




    En cada caso usa la información que proporciona la tabla para encontrar la nulidad de Ay AT

    a
    b
    c
    d
    e
    f
    g
    Tamaño de A
    3x3
    3x3
    3x3
    5x9
    9x5
    4x4
    6x2
    Rgo A
    3
    2
    1
    2
    2
    0
    2

    viernes, 20 de noviembre de 2009

    Base y Dimensión


    Espacio Vectorial
    Base y Dimensión



    Si V es cualquier espacio vectorial y S ={v1 ,v2,…….vn} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las siguientes condiciones:

    1. S es linealmente independiente
    2. S genera V
    Reciben el nombre de base natural o canónica

    Ejemplo

    El conjunto S={ v1,v2,v3,v4}, donde v1=(1,0,1,0),v2=(o,1,-1,2),v3=(0,2,2,1), V4=(1,0,0,1) es una base para R4



    En primer lugar hay que demostrar que es linealmente independiente,

    C1 v1 +c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 =0
    Se puede efectuar como se realizó para independencia lineal construyendo la matriz. Es válido, además resolver el determinante puesto que una de las condiciones para formar la base es el número de vectores que la forman. Si el determinante es distinto de cero (0) se dice que es independiente lineal por lo tanto forman la base, mientras que el resultado si es igual a cero no forman base. (Recordar las propiedades de los determinantes)

    Resolver el determinante factible si la matriz generada posee una dimensión que lo permita, es decir menos cálculo que por otro método. La matriz generada siempre es cuadrada sino no sería base



    Se realiza la eliminación guassiana –f1 +f4~f4



    Se ha triangulado la matriz por lo tanto forman base.



    La dimensión de un espacio vectorial no nulo es el número de vectores en una base V. Se simboliza dim V



    Ejemplo

    1. La dimensión de R2 es 2, la dimensión de R3 es tres.

    2. En el ejemplo de base se puede decir que dim V = 4


    Espacio vectorial


    Espacio vectorial
    1. Independencia Lineal.


          Los vectores v1, v2, …..vn de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c1, c2,……..cn no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):

    C1 v1 + c 2v2+……cn vn =0
          En caso contrario se dice que v1, v2, …..vn son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c1 = c2=…….=.cn=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero.



    Ejemplo:

    • Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si.
    Formando la ecuación

    C1 (-1,1,0,0) + c2 (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)
    -c1 -2c2 =0
    C1+ 0c2 =0
    C2=0
    C2=0
             La única solución de este sistema es c1 = c2=0 




       Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente: 


    Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior




    -2f1 +f2 → f2

    Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal. 


    •      Considerando los vectores
    p1 (t)= t2 + t + 2 p2 (t)= 2t2 + t p3 (t)= 3t2 + 2t + 2
    son linealmente independientes o no




    Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.

    Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).


    Podran encontrar mas ejercicios en el siguiente enlace.
    Algebra lineal Bernard Kolman pág 301