Algebra lineal

Ecuaciones

Concepto

Es una expresión matemática definida por una igualdad, la cual contiene uno o varios términos   que involucran más de dos variables

Las ecuaciones pueden tener la siguiente forma;

 

Donde

a y b	coeficientes de las variables
x.y	variables
c	Término constante

Generalmente las variables se denotan las últimas letras de abecedario (x,y,z) aunque en algunas ocasiones se pueden encontrar con subíndices de la misma variable(x₁,x₂,x₃).  Mientras que para los coeficientes se utilizan las primeras letras del alfabeto en minúscula (a,b,c).

Tipos de sistema de ecuaciones lineales 

       Los sistemas de ecuaciones se pueden clasificar según el número de soluciones que pueden presentar. De acuerdo con ese caso se pueden presentar los siguientes casos:

• Sistema inconsistente si no tiene ninguna solución.
• Sistema consistente si tiene alguna solución, en este caso además puede distinguirse entre:
• Sistema compatible o consistente determinado cuando tiene una solución. Esta recibe el nombre de solución trivial
• Sistema compatible o consistente indeterminado cuando admite un conjunto infinito de soluciones.
  

        

Los sistemas incompatibles geométricamente se caracterizan por (hiper)planos o rectas que se cruzan sin cortarse. Los sistemas compatibles determinados se caracterizan por un conjunto de (hiper)planos o rectas que se cortan en un único punto. Los sistemas compatibles indeterminados se caracterizan por (hiper)planos que se cortan a lo largo de una recta [o más generalmente un hiperplano de dimensión menor]. Desde un punto de vista algebraico los sistemas compatibles determinados se caracterizan porque el determinante de la matriz es diferente de cero:

• Sistemas compatibles o consistentes indeterminados

Un sistema sobre un cuerpo K es compatible indeterminado cuando posee un número infinito de soluciones. Por ejemplo, el siguiente sistema:

      Tanto la primera como la segunda ecuación se corresponden con la recta cuya pendiente es 0.5 y que pasa por el punto (-1,1), por lo que ambas intersectan en todos los puntos de dicha recta. El sistema es compatible por haber solución o intersección entre las rectas, pero es indeterminado al ocurrir esto en infinitos puntos.

• En este tipo de sistemas, la solución genérica consiste en expresar una o más variables como función matemática del resto. En los sistemas lineales compatibles indeterminados, al menos una de sus ecuaciones se puede hallar como combinación lineal del resto, es decir, es linealmente dependiente.
• Una condición necesaria para que un sistema sea compatible indeterminado es que el determinante de la matriz del sistema sea cero

Sistemas inconsistentes

      De un sistema se dice que es inconsistente cuando no presenta ninguna solución. Por ejemplo, el siguiente sistema:

-->

    Las ecuaciones se corresponden gráficamente con dos rectas, ambas con la misma pendiente, Al ser paralelas, no se cortan en ningún punto, es decir, no existe ningún valor que satisfaga a la vez ambas ecuaciones.

    Matemáticamente un sistema de es incompatible cuando el rango de la matriz del sistema es inferior al rango de la matriz ampliada. Una condición necesaria para que esto suceda es que el determinante de la matriz del sistema sea cero:

Métodos de resolución

• Sustitución

El método de sustitución consiste en despejar en una de las ecuaciones cualquier incógnita, preferiblemente la que tenga menor coeficiente, para a continuación, sustituirla en otra ecuación por su valor.

En caso de sistemas con más de dos incógnitas, la seleccionada debe ser sustituida por su valor equivalente en todas las ecuaciones excepto en la que se ha despejado. En ese instante, se tendrá un sistema con una ecuación y una incógnita menos que el inicial, en el que pudiese seguir aplicando este método reiteradamente. Por ejemplo se quiere resolver por sustitución este sistema:

En la primera ecuación, hay que seleccionar la incógnita  y  por ser la de menor coeficiente y que posiblemente facilite más las operaciones, y se despeja, obteniendo la siguiente ecuación.

y=22-3x

      El siguiente paso será sustituir cada ocurrencia de la incógnita y en la otra ecuación, para así obtener una ecuación donde la única incógnita sea la x.

      Al resolver la ecuación se obtiene el resultado X=5 , y si ahora sustituir esta incógnita por su valor en alguna de las ecuaciones originales se tiene y=7 , con lo que el sistema queda ya resuelto.

-->

• Igualación

      El método de igualación se puede entender como un caso particular del método de sustitución en el que se despeja la misma incógnita en dos ecuaciones y a continuación se igualan entre sí la parte derecha de ambas ecuaciones.

     Tomando el mismo sistema utilizado como ejemplo para el método de sustitución, despejar la incógnita y en ambas ecuaciones queda de la siguiente manera:

     Como se puede observar, ambas ecuaciones comparten la misma parte izquierda, por lo que se afirma que las partes derechas también son iguales entre sí.

     Llegados a este punto, la ecuación resultante es resoluble y conocer el valor de la incógnita x, y a partir de aquí, sustituyendo dicho valor en una de las ecuaciones originales, obtener el valor de la y, que además ya se encuentra despejada.

• Reducción

     Este método suele emplearse mayoritariamente en los sistemas lineales, siendo pocos los casos en que se utiliza para resolver sistemas no lineales. El procedimiento, diseñado para sistemas con dos ecuaciones e incógnitas, consiste en transformar una de las ecuaciones (generalmente, mediante productos), de manera que obtener dos ecuaciones en la que una misma incógnita aparezca con el mismo coeficiente y distinto signo. A continuación, se suman ambas ecuaciones produciéndose así la reducción o cancelación de dicha incógnita, obteniendo así una ecuación con una sola incógnita, donde el método de resolución es simple.

-->

      Por ejemplo, en el sistema

no se tiene más que multiplicar la primera ecuación por -2 para poder cancelar la incógnita y. Al multiplicar, dicha ecuación queda así:

        Sumándose esta ecuación a la segunda del sistema original, se obtiene una nueva ecuación donde la incógnita y  ha sido reducida y que, en este caso, da directamente el valor de la incógnita x:

x=-6

        El siguiente paso consiste únicamente en sustituir el valor de la incógnita en cualquiera de las ecuaciones donde aparecían ambas incógnitas, y obtener así que el valor de 17/3

Sistemas homogéneos.

Un sistema de ecuaciones lineales es homogéneo, si todos los términos independientes son nulos.

Considerar los siguientes sistemas homogéneos de m ecuaciones con n incógnitos:

    Todo sistema de ecuaciones lineales homogéneo es consistente, pues al menos siempre habrá valores x=0 x=0 x=0 que satisfagan el sistema. A esta solución se le denomina solución trivial.

Un sistema homogéneo tiene dos posibilidades:

• Consistente determinado: Solución trivial. Todas iguales a cero
• Consistente indeterminado: Un número infinito de soluciones.

    Para Resolver un sistema homogéneo se le aplica el Método de Gauss o bien el de Gauss-Jordan. Otra forma de resolver este sistema es asumir la última variable como una nueva y despajarla como si fuera una constante. Y Posteriormente se trabaja con cualquiera de los métodos antes explicados.

       Este sistema sólo tiene una solución (0,0) puesto que no se pueden satisfacer las dos en forma simultanea. De igual modo se realiza con sistemas de ecuaciones mas grandes.

Ejercicios:

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