Base y dimensión, Rango y nulidad

Espacio Vectorial
Base y Dimensión



Si V es cualquier espacio vectorial y S ={v1 ,v2,…….vn} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las siguientes condiciones:

  1. S es linealmente independiente
  2. S genera V
Reciben el nombre de base natural o canónica

Ejemplo

El conjunto S={ v1,v2,v3,v4}, donde v1=(1,0,1,0),v2=(o,1,-1,2),v3=(0,2,2,1), V4=(1,0,0,1) es una base para R4



En primer lugar hay que demostrar que es linealmente independiente,

C1 v1 +c2 v2 + c3 v3 + c4 v4 =0
Se puede efectuar como se realizó para independencia lineal construyendo la matriz. Es válido, además resolver el determinante puesto que una de las condiciones para formar la base es el número de vectores que la forman. Si el determinante es distinto de cero (0) se dice que es independiente lineal por lo tanto forman la base, mientras que el resultado si es igual a cero no forman base. (Recordar las propiedades de los determinantes)

Resolver el determinante factible si la matriz generada posee una dimensión que lo permita, es decir menos cálculo que por otro método. La matriz generada siempre es cuadrada sino no sería base

Se realiza la eliminación guassiana –f1 +f4~f4



Se ha triangulado la matriz por lo tanto forman base.



La dimensión de un espacio vectorial no nulo es el número de vectores en una base V. Se simboliza dim V



Ejemplo


  • La dimensión de R2 es 2, la dimensión de R3 es tres.









  • En el ejemplo de base se puede decir que dim V = 4



    Rango y nulidad
    La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).
    Propiedad
    Rango (A)= Rango (AT)
    Teorema de la dimensión
    Si es una matriz A con n columnas, entonces:
    Rango (A) + nulidad (A) = n
    El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente
    Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma escalonada.
    El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).
    Ejemplo

    Sea A. determinar su rango y nulidad

    Por procesos elementales
    –f1+f2→f2 ^ –f1+f3→f3 f2+f3→f3

    rango (A)= 2
    Ejercicios
    Calcule el rango y la nulidad de A




    En cada caso usa la información que proporciona la tabla para encontrar la nulidad de Ay AT

    a
    b
    c
    d
    e
    f
    g
    Tamaño de A
    3x3
    3x3
    3x3
    5x9
    9x5
    4x4
    6x2
    Rgo A
    3
    2
    1
    2
    2
    0
    2