Espacio Vectorial

Espacio Vectorial


       Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar, que satisfacen los siguientes axiomas:
                               
  1. Ley de cerradura   Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V
  2. Ley conmutativa                     u + v = v + u 
  3. Ley Asociativa                  u + (v + w) = (u + v) + w                                              
  4. Elemento neutro para la suma                   Existe un elemento 0 en tal u
    que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u.                                                         
  5. Elemento Simétrico o Negativo     Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que                                 u + (-u)=0

  6. Ley de cerradura  Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier       número    real, entonces c.u pertenece a V                                                                  
  7.  Ley Distributiva                  c (u + v) = cu + cv , para todo
           
    real c y todo elemento u y v en V. V                                                                                 
  8. Ley Distributiva      (c+d) u = cu + du
                       
    para todo número real c y d,  y todo elemento u en V.

  9.  Ley asociativa de la multiplicación        c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
    y todo elemento u en V.
  10. Elemento neutro de la multiplicación   1u =u, para u en V.


Ejemplos:
  1. Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
    (X, y,0) + (x', y',0'') = ( x +x , y + y, 0)
    c(x,y,0) = (cx, cy 0)


    Comprobando cada axioma:

  • Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
(X, y,0) + (x', y',0'') = ( x +x , y + y, 0)
  • (X, y,0) + (x', y',0'') = (x'' ,y',0) + (x, y, 0)
                              ( x +x , y + y, 0) = (x' +x, y'+y, 0)

  • {(X, y,0) + (x', y',0'')} + (x2, y2, 0) = (X, y,0) +{ (x', y',0'') + (x2, y2, 0)}
    (x +x , y + y, 0) + (x2,y2,0)= (X, y,0) + (x'+x2, y'+y2 , 0 )
    (x+x'+x2, y+y'+y2, 0) =(x+x'+x2, y+y'+y2, 0)


  • (X, y,0) + (0,0,0') = ( x , y, 0)

  • (X, y,0) - (x,y,0'') = ( 0 ,0, 0)
  • Se cumple el sexto axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
    c(x,y,0) = (cx, cy 0)
    • c{(X, y,0) + (x', y',0'')} = c(x,y,0) + c(x',y',0)
      c( x +x , y + y, 0) = (cx, cy, 0) + (cx' , cy', 0)
      (c[x+x'], c[y+y'], 0)= (cx+cx', cy+cy' ,0)
    • (c+d) (x,y,0) = c(x, y, 0) + d(x, y,0)
      {(c+d) x, (c+d)y , 0) = (cx+dx , cy+dy ,0)

    • (cd) (x,y,0) = c( d(x, y,0))
      {(cd) x, (cd)y , 0) = (cdx , cdy ,0)

    • 1(x,y,0) = (x, y, 0)
En conclusión es un espacio vectorial puesto que cumple los 10 axiomas

  1. Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
    (X, y,z) + (x', y',z'') = ( x +x , y + y, z+z)
    c(x,y,z) = (cx, y z)
    Es fácil comprobar los primeros axiomas puesto que cumplen las propiedades de los números,
    Comenzar por el axioma 7
  1. Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
  2. Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
Ejemplo
Cuál de los siguientes
subconjuntos de
R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:

  1. (a,b,2)
  2. (a,b,c) donde c= a+b
a (a,b,2) + (a1,b1,2) = (a+a, b+b, 2+2)
no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial
b ./ (a b, c) + (a1,b1,c) = (a+a1, b+b1, c+c1)
c= a + b y c1= a1+b1
c+ c1 = (a+a1)+ (b+b1)i se cumple
K(a,b,c) = (Ka, Kb, kc)
C= a+b y k c = ka +k b también se cumple.

Bernard Kolman Algebra lineal