miércoles, 18 de noviembre de 2009

Transformación Lineal


Transformación Lineal




Definición

Si T: V→W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W, si para todos los valores u y v y los escalares c, se define que



  1. T(u+v)=Tu+Tv
  2. T(cu)= cTu


En casos especiales T: V→V es decir el mismo espacio vectorialse llama operador lineal.



Propiedades

Si T: V→W

  1. T(0)=0
  2. T(-v)= -T(v)
  3. T(u-v)= T(u)-T(v)
Ejemplo

Por medio de la definición de transformación lineal

1.- Sea V=(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones de primera derivada continuas sobre (-∞,∞) y W= F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞)

T: V→W

D(f) = fx'


  1. T(f+g)= Tf +Tg
    (fx+gx)'= (fx)' +(gx)'

    Esto se cumple


  2. T(cf)= cT(fx)
    (cfx)'=c(fx)'

Esto también se cumple por lo tanto es transformación lineal.

2.- Si T: Mnn→R

T(A)= A

  1. T(A+B)≠ T(A)+T(B)
A+B ≠ A+ B

  1. TcA ≠ cTA
cA ≠ cA

Como no se cumplen ninguna de los dos axiomas, por lo tanto no es transformación lineal.
Ejercicios

1.-Si T: Mnn→R

T(A)= tr A

2.- Si V→R donde V es un espacio con producto interior y Tu = ║u║.


Mas ejercicios











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