Espacio Vectorial

Combinación Lineal



Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v₁, v₂,……….v_n
Si se puede expresar de la forma

W = k₁ v₁ + k₂ v₂ + k₃ v₃ +……………….+ k_n v_n

donde k_{1 ,} k₂ k₃ ………
k_n son escalares.

Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v_1
, v₂ ,v₃ …. v_n }

Ejemplo

1.-Todo vector v={a, b, c } en R³ se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos

i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)

v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck

2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R³. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.



Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:

W= k₁ u + k₂ v

1. 
   
   (9,2,7)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)
   
   
   
   (9,2,7)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂ ,4 k₂ ,2 k₂ )
   
   
   
   Igualando
   
   
   
   9= k₁ +6k₂
   
   2= 2k₁ +4k₂
   
   7 = -k₁ +2k₂
   
   Resolviendo el sistema k₁ = -3 k₂ = 2
   
   La respuesta es:
   
   

W= -3 u +3 v

1. 
   
   (4,-1,8)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)
   
   (4,-1,8)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂ ,4 k₂ ,2 k₂ )
   
   
   
   Igualando
   
   
   
   4= k₁ +6k₂
   
   -1= 2k₁ +4k₂
   
   8= -k₁ +2k₂
   
   
   
   Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.
   
   
   
   

Ejercicio

1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v₁ v₂,v₃} donde

V₁=(1,0.0,1) v₂=(1,-1,0.0) v₃=(0,1,2,2)

1. V=(-1,4,2,2)
   
2. V =(1,2,01)
   
3. V=(-1,1,4,3)
   
4. V=(0.1.10)
   

2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de