Espacio Vectorial y sub espacio

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar que satisfacen las siguientes axiomas:

1. Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
   
2. u + v = v + u
   Ley conmutativa
   
3. u + (v + w) = (u + v) + w
   Ley Asociativa
   
4. Existe un elemento 0 en tal u
   que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u. Elemento Neutro para la suma
   
5. Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0
   Elemento Simétrico o Negativo
   
6. Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
   
7. c (u + v) = cu + cv , para todo
   real c y todo elemento u y v en V. Ley Distributiva
   
8. (c+d) u = cu + du
   para todo número real c y d
   y todo elemento u en V.
   Ley Distributiva
   
9. c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
   y todo elemento u en V. Ley asociativa de la multiplicación
   
10. 1u =u, para u en V.
    

Ejemplos:

1. Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
   

   (X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)
   

   c(x,y,0) = (cx, cy 0)
   

   
   

   Comprobando cada axioma:
   

   
   

• Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
  

(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)

• (X, y,0) + (x^', y',0^'') = (x^'' ,y^',0) + (x, y, 0)
  

( x +x , y + y, 0) = (x^' +x, y^'+y, 0)

• {(X, y,0) + (x^', y',0^'')} + (x₂, y₂, 0) = (X, y,0) +{ (x^', y',0^'') + (x₂, y_2, 0)}
  

  (x +x , y + y, 0) + (x₂,y₂,0)= (X, y,0) + (x^'+x₂, y^'+y₂ , 0 )
  

  (x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0) =(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0)
  

• (X, y,0) + (0,0,0^') = ( x , y, 0)
  

  
  

• (X, y,0) - (x,y,0^'') = ( 0 ,0, 0)
  
• Se cumple el sexto axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
  

  c(x,y,0) = (cx, cy 0)
  

  • c{(X, y,0) + (x^', y',0^'')} = c(x,y,0) + c(x',y',0)
    

    c( x +x , y + y, 0) = (cx, cy, 0) + (cx' , cy', 0)
    

    (c[x+x'], c[y+y'], 0)= (cx+cx', cy+cy' ,0)
    

  • (c+d) (x,y,0) = c(x, y, 0) + d(x, y,0)
    

    {(c+d) x, (c+d)y , 0) = (cx+dx , cy+dy ,0)
    

    
    

  • (cd) (x,y,0) = c( d(x, y,0))
    

    {(cd) x, (cd)y , 0) = (cdx , cdy ,0)
    

    
    

  • 1(x,y,0) = (x, y, 0)
    

En conclusión es un espacio vectorial puesto que cumple los 10 axiomas

1. Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
   

   (X, y,z) + (x^', y',z^'') = ( x +x , y + y, z+z)
   

   c(x,y,z) = (cx, y z)
   

   Es fácil comprobar los primeros axiomas puesto que cumplen las propiedades de los números,
   

   Comenzar por el axioma 7
   

• c{(X, y,z) + (x^', y',z^'')} = c(x,y,z) + c(x',y',z')
  

  c( x +x' , y + y', z+z') = (cx, y, z) + (cx' , y', z')
  

  (c[x+x'], [y+y'], [z+z'[)= (cx+cx', y+y' ,z+z')
  

  
  

• (c+d) (x,y,z) ≠ c(x, y, z) + d(x, y,z)
  

  {(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , y+y , z+z)
  

  {(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , 2 y ,2z)
  

  no se cumple este axioma
  

  
  

  Ejercicios.

• Algebra lineal una introduccion moderna David Poole pag 445
  

  Algebra Lineal Escrito por Romano Aportela, Pedro,Lozano Mora, Claudia

  Sub espacio Vectorial
  

  
  

  Sea un espacio vectorial V y W un subconjunto no vacio de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un sub espacio vectorial.
  

  
  

1. Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
   
2. Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
   

Ejemplo

Cuál de los siguientes
subconjuntos de
R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:

1. (a,b,2)
   
2. (a,b,c) donde c= a+b
   

a (a,b,2) + (a₁,b₁,2) = (a+a, b+b, 2+2)

no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial

b ./ (a b, c) + (a₁,b₁,c) = (a+a₁, b+b₁, c+c₁)

c= a + b y c₁= a₁+b₁

c+ c₁ = (a+a₁)+ (b+b₁)i se cumple

K(a,b,c) = (Ka, Kb, kc)

C= a+b y k c = ka +k b también se cumple.

Bernard Kolman Algebra lineal