lunes, 23 de noviembre de 2009

Producto Interior

Producto Interior
Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función que asocia un número real u, v› a cada pareja de vectores u y en V de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u, v y w en V los escalares k.
u, v› = v, u Axioma de la simetría
2. u+ v, w = u, w› + v, w› Axioma de aditividad
3. ‹ku, v›=u, kv › = k u, v› Axioma de la homogeneidad
4. u, u› ≥ 0 donde u, u› = 0 si y sólo si u=0 Axioma de positividad
Fórmula
u= (u1 ,u2,….un) y v=(v1 ,v2,……,vn)
‹u, v= u1 v1 +u2 v2+…..+un vn
Ejemplo
U=(1,2) V=(0,3)
‹u, v= 1*0+2*3=0+6=6
Ejercicios
1.- Sea ‹u, v el producto interior sobre R y u=(3,-2), v=(4,5) y w=(-1,6)
K=4
Encontrar
a) u, v=v, u b) u+ v, w = u, w› + v, w› c) k u, v›=u, k v › = k u, v›
2.- Calcular u, v›

Propiedades del producto interior
1.- 0, v› = v, 0=0
2.- u+ v, w = u, w› + v, w›
3.- ‹k u, v›=u, k v› = k u, v›
4.- u- v, w = u, w› - v, w›
5.- u, v- w = u, v› + u, w›
Norma de un vector
Si v es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector ║u║ en V se denota por y y se define como:
u= (u1 ,u2,….un)

Comparando las fórmulas
u, v= u1 v1 +u2 v2+…..+un vn
Se puede concluir que
║u║=u, u1/2
Ejemplo
U=(1,2)
Si u y v son vectores en un espacio en V y k un escalar
1.- ║u║≥0
2.- ║u║= 0 si y solo si u=0
3. -║k u║ = 1k1 ║u║
4.- ║u+ v║≤║u║+║v║ desigualdad del triángulo
Distancia entre dos vectores
Se define como


Ejemplo
U=(1,2) V=(0,3)


Propiedades
1.- d (u,v)≥0
2.- d (u,v)= 0 si y solo si u=v
3.- d (u,v)= d (v,u)
De acuerdo a lo antes expuesto


Ejercicios
1.- Hallar el valor de la norma de los siguientes vectores
U = (-1,2) p=-2+3x+2x 2
2.- Hallar la distancia entre los vectores
U=(-1,3) v=(3,0)
P=3+3x q= 2+4x-x2
3.- Suponer que u, v y w son vectores tales que;
‹u, v=2 ‹u, w= 5 ‹w, v= -3 ║u║= 1 ║v║=2 ║w║=7
Hallar
‹u+ v, v + w ‹2v-w, v-u
║u+ v║ ║2w- v║ ║2u+ v-w║

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