Matrices y Tipo de Matrices

Matrices

Concepto de Matriz

Una matriz es un conjunto ordenado en una estructura de filas y columnas. Los elementos de este conjunto pueden ser objetos matemáticos de muy variados tipos, aunque de forma particular, se trabajará exclusivamente con matrices formadas por números reales. Estas se denotan con corchetes o paréntesis.

Normalmente las matrices son designadas por letras mayúsculas. Hay algunas matrices que tienen sus propias letras como se estudiara posteriormente.

Los elementos de una matriz se identifican por la fila y la columna que ocupan. Así, se designa por a₃₂ el elemento que está situado en la tercera fila y segunda columna de la matriz A. Estos se denotan como i-ésimo para filas y j-ésimos para columnas

El número de filas y columnas que tiene una matriz se llama orden de la matriz. Se denota de la siguiente manera 3x3, donde el primer elemento representa el número de filas totales de la matriz y luego él de columnas totales. 

Dos matrices son iguales si son de igual dimensión y coincide el valor de los elementos que ocupan la misma posición en ambas.

Ejemplo
Columna


Orden 3x3 a₃₂= 2



Tipos de Matrices

Tipo de matriz	Definición	Ejemplo
VECTOR FILA	Aquella matriz que tiene una sola)fila, siendo su orden 1×n
VECTOR COLUMNA	Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR	Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n
TRASPUESTA	Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
OPUESTA	La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA	Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA	Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
SIMÉTRICA	Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRICA	Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
DIAGONAL	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
ESCALAR	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR	Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
ORTOGONAL	Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
NORMAL	Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
INVERSA	Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A-1 = A-1·A = I

Matriz Elemental:
 Es aquella matriz identidad a la cual se le aplican los procesos elementales.

1. Intercambio de fila o columnas
2. Multiplicación por un escalar de una fila o columnas.
3. Adición entre filas o columnas

Matriz aumentada:
 Es aquella matriz que se fusiona con otra conservando sus características.