Transformación lineal

Transformación Lineal

Definición

Si T: V→W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W, si para todos los valores u y v y los escalares c, se define que

1. T(u+v)=Tu+Tv
   
2. T(cu)= cTu
   

En casos especiales T: V→V es decir el mismo espacio vectorialse llama operador lineal.



Propiedades

Si T: V→W

1. T(0)=0
   
2. T(-v)= -T(v)
   
3. T(u-v)= T(u)-T(v)
   

Ejemplo


Por medio de la definición de transformación lineal

1.- Sea V=(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones de primera derivada continuas sobre (-∞,∞) y W= F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞)

T: V→W

D(f) = fx'

1. T(f+g)= Tf +Tg
   
   (fx+gx)'= (fx)' +(gx)'
   
   Esto se cumple
   
   
2. T(cf)= cT(fx)
   
   (cfx)'=c(fx)'
   
   

Esto también se cumple por lo tanto es transformación lineal.

2.- Si T: Mnn→R

T(A)= A

1. T(A+B)≠ T(A)+T(B)
   

A+B ≠ A+ B

1. TcA ≠ cTA
   

cA ≠ cA

Como no se cumplen ninguna de los dos axiomas, por lo tanto no es transformación lineal.

Ejercicios

1.-Si T: Mnn→R

T(A)= tr A

2.- Si V→R donde V es un espacio con producto interior y Tu = ║u║.

3.-  ¿Cuál de las siguientes son transformaciones lineales?

a)                 a)  T(x,y) = (x+y ,x-y)

4.- ¿Cuál de las siguientes son transformaciones lineales?

         a)T(x,y,z)= (0,0)

         b) T(x,y,z)= (1,2,-1)

         c) T(x,y,z)= (x² + y, y - z)

5.-Sea  T:P₂ →P₁ definida como se indica ¿ T es una transformación lineal?

       a)T (p(t))=t p(t) +p(0)

       b) T (p(t))= t p(t)+ t² +1

        c) T(at+b)= at² +(a-b)t

6.- Sea  T:P₂ →P₂ definida como se indica ¿ T es una transformación lineal?

        a)T(at²+bt+c)=(a+1)t² +(b-c) t +(a+c)

        b) T(at²+bt+c)=at² +(b-c) t +(a-c)

        c) T(at²+bt+c)=0

7. Sea  T:P₂ →P₁ definida como se indica ¿ T es una transformación lineal?

        a) T(at²+bt+c)=at+b+1

        b) T(at²+bt+c)=2at-b

        c) T(at²+bt+c)= (a+2)t + (b-a)

8.-Sea C una matriz fija de n x n, y sea T:M_nn→M_nn definida como T(A)=CA. Demuestre que T es una transformación lineal.

Mas ejercicios

Núcleo y Recorrido de una Transformación Lineal

Si T: V -> W es una transformación lineal, mapea o transforma en 0 se denomina núcleo (kernel o espacio nulo) de T. Se asocia al conjunto de partida, es decir todo vector que este conjunto que tiene imagen nula. Se denota con Ker (T)

T:V ->W

El conjunto de todos los vectores que son imágenes en W (conjunto de llegada) que son imágenes bajo T de algún vector de V (conjunto de partida) se denomina recorrido de T y se denota R (T).

Ker (T) = {E}

R (T) = { 0, B}

Ejemplo

Sea T:R² ->R² el operador lineal definido por la expresión:

T(x,y)= (2x-y, -8x+4y)

Cuál de los siguientes vectores están en R²

(1,-4) (5,0) (-3,12)

Como el recorrido está asociado al conjunto de llegada, se iguala la ecuación y si tiene el sistema respuesta, entonces este punto es parte del recorrido.

2x –y=1 (4) 8x – 4y = 4

-8x+4y = - 4 (1) -8x + 4y = -4

Se multiplica 0 = 0

Esto indica que el sistema tiene infinitas respuestas, por lo tanto el punto pertenece al recorrido. De igual manera hay que probar con los siguientes puntos.

R (T) = { (1,-4) (-3,12)}

Otra forma de resolver seria:

2x –y=a (4) 8x – 4y = 4a

-8x+4  =     b                    (1) -8x + 4y = b

..........................................................................                                                                                       0 = 4a+b     despejando de aquí

b= -4a

Lo que implica que esta proporción se debe mantener. Si se presta atención a los puntos, esta se cumple.

Cual de los siguientes puntos pertenecen al núcleo ker (T)

(5,10) (3,2) (1,1)

Como el núcleo se asocia al conjunto de partida, se sustituye en las ecuaciones si la imagen es cero0) pertenecen al kernel.

2x –y= 2(5) -10=0

-8x+4y = -8(5) + 4(10)= 0

Conclusión pertenece al kernel, otra forma de hacerlo es:

2x –y= 0 y = 2x

-8x+4y = 0 .

Se resuelve como un sistema homogéneo, como las ecuaciones en este ejemplo son proporcionales se elimina una y se conserva la otra, en consecuencia este sistema tiene infinitas respuestas (mayor número de incógnitas que ecuaciones) la variable y deben ser una el doble que x, por lo tanto solo pertenece el primer punto al núcleo.

Ker (T)= { (5,10) }

Ejercicios

1-    1.-  Sea T:R²→ R² definida por T(a₁,a₂)=( a_1,,0)

     a) ¿(0,2) está en el núcleo (T)?

     b) ¿(2,2) está en el núcleo (T)?

     c) ¿(3,0) está en el recorrido (T)?

     d)¿(3,2) está en el núcleo (T)?

     e) Determine el núcleo T

      f) Determine el recorrido T

2.- sea T: R²→R³ definida por   T(x,y)= (x,  x+y,  y) 

        Determinar el núcleo

3.-Sea una T: R⁴→R³ definida por   T(x,y,z,w)= (  x+y, z+w  ,x+z)  

            a) Determinar el núcleo

            b) Determinar el recorrido

4.- Sea T: R³→R³ definida por   

       

            a) Determinar el núcleo

            b) Determinar el recorrido 

5.- Sea una  T: p₂→p₂  está definida por

                       T(ax²+bx+c)=(a+c) x²+ (b+c)x

  a)¿x²-x-1  está en el núcleo?

  b) )¿x²+x-1  está en el núcleo?

  c)¿2x² -x  está en el recorrido?

  d) )¿x²-x-2  está en el recorrido?

6.- Sea una T: R³→R³ definida por   T(x,y,z)= (  x-y, x+2y, z)  

            a) Determinar el núcleo

            b) Determinar el recorrido

7.- Sea una T: M₂₂→M₂₂ definida por  

            a) Determinar el núcleo

            b) Determinar el recorrido