Espacio vectorial

Espacio vectorial

1. Independencia Lineal.
   

      Los vectores v₁, v₂, …..v_n de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c₁, c₂,……..c_n no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):

C₁ v₁ + c ₂v₂+……c_n v_n =0

      En caso contrario se dice que v₁, v₂, …..v_n son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c₁ = c₂=…….=.c_n=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero.



Ejemplo:

• Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si.
  

Formando la ecuación

C₁ (-1,1,0,0) + c₂ (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)

-c₁ -2c₂ =0

C₁+ 0c₂ =0

C₂=0

C₂=0

         La única solución de este sistema es c₁ = c₂=0 




   Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente: 


Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior

-2f₁ +f₂ → f₂

Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal. 

•      Considerando los vectores
  

p₁ (t)= t² + t + 2 p₂ (t)= 2t² + t p₃ (t)= 3t² + 2t + 2

son linealmente independientes o no

Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.

Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).

Podran encontrar mas ejercicios en el siguiente enlace.
_{Algebra lineal Bernard Kolman pág 301}