Transformación Lineal

Transformación Lineal

Definición

Si T: V→W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W, si para todos los valores u y v y los escalares c, se define que

1. T(u+v)=Tu+Tv
   
2. T(cu)= cTu
   

En casos especiales T: V→V es decir el mismo espacio vectorialse llama operador lineal.



Propiedades

Si T: V→W

1. T(0)=0
   
2. T(-v)= -T(v)
   
3. T(u-v)= T(u)-T(v)
   

Ejemplo

Por medio de la definición de transformación lineal

1.- Sea V=(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones de primera derivada continuas sobre (-∞,∞) y W= F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞)

T: V→W

D(f) = fx'

1. 
   
   T(f+g)= Tf +Tg
   
   (fx+gx)'= (fx)' +(gx)'
   
   Esto se cumple
   
   
2. 
   
   T(cf)= cT(fx)
   
   (cfx)'=c(fx)'
   
   

Esto también se cumple por lo tanto es transformación lineal.

2.- Si T: Mnn→R

T(A)= A

1. T(A+B)≠ T(A)+T(B)
   

A+B ≠ A+ B

1. TcA ≠ cTA
   

cA ≠ cA

Como no se cumplen ninguna de los dos axiomas, por lo tanto no es transformación lineal.

Ejercicios

1.-Si T: Mnn→R

T(A)= tr A

2.- Si V→R donde V es un espacio con producto interior y Tu = ║u║.


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