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Libros de Álgebra lineal

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• Bernard Kolman
• Poole David
• Nakos George, Joyner David
• Proskuriakov, I Problemario
• Heinhold, Joseph, Bruno Reidmuller Determinantes y sistemas de ecuaciones
• Julia García Cabello
• Gilbert Strang
• Manuel Iglesias Cerezal problemas
• Ángel Balaguer Beser,Elena Alemany Martínez

Producto Interior

Producto Interior

Un producto interior sobre un espacio vectorial V es una función que asocia un número real ‹u, v› a cada pareja de vectores u y en V de forma que los siguientes axiomas se cumplen para los vectores u, v y w en V los escalares k.

‹u, v› = ‹v, u› Axioma de la simetría

2. ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› Axioma de aditividad

3. ‹ku, v›=‹u, kv › = k ‹u, v› Axioma de la homogeneidad

4. ‹u, u› ≥ 0 donde ‹u, u› = 0 si y sólo si u=0 Axioma de positividad

Fórmula

u= (u₁ ,u₂,….u_n) y v=(v₁ ,v₂,……,v_n)

‹u, v›= u₁ v₁ +u₂ v₂+…..+u_n v_n

Ejemplo

U=(1,2) V=(0,3)

‹u, v›= 1*0+2*3=0+6=6

Ejercicios

1.- Sea ‹u, v› el producto interior sobre R y u=(3,-2), v=(4,5) y w=(-1,6)

K=4

Encontrar

a) ‹u, v›=‹v, u› b) ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w› c) ‹k u, v›=‹u, k v › = k ‹u, v›

2.- Calcular ‹u, v›

Propiedades del producto interior

1.- ‹0, v› = ‹v, 0›=0

2.- ‹u+ v, w › = ‹u, w› + ‹ v, w›

3.- ‹k u, v›=‹u, k v› = k ‹u, v›

4.- ‹u- v, w › = ‹u, w› - ‹ v, w›

5.- ‹u, v- w › = ‹u, v› + ‹u, w›

Norma de un vector

Si v es un espacio vectorial con producto interior, entonces la norma (o longitud) de un vector ║u║ en V se denota por y y se define como:

u= (u₁ ,u₂,….u_n)

Comparando las fórmulas

‹u, v›= u₁ v₁ +u₂ v₂+…..+u_n v_n

Se puede concluir que

║u║=‹u, u›^1/2

Ejemplo

U=(1,2)

Si u y v son vectores en un espacio en V y k un escalar

1.- ║u║≥0

2.- ║u║= 0 si y solo si u=0

3. -║k u║ = 1k1 ║u║

4.- ║u+ v║≤║u║+║v║ desigualdad del triángulo

Distancia entre dos vectores

Se define como

Ejemplo

U=(1,2) V=(0,3)

Propiedades

1.- d (u,v)≥0

2.- d (u,v)= 0 si y solo si u=v

3.- d (u,v)= d (v,u)

De acuerdo a lo antes expuesto

Ejercicios

1.- Hallar el valor de la norma de los siguientes vectores

U = (-1,2) p=-2+3x+2x ²

2.- Hallar la distancia entre los vectores

U=(-1,3) v=(3,0)

P=3+3x q= 2+4x-x²

3.- Suponer que u, v y w son vectores tales que;

‹u, v›=2 ‹u, w›= 5 ‹w, v›= -3 ║u║= 1 ║v║=2 ║w║=7

Hallar

‹u+ v, v + w› ‹2v-w, v-u›

║u+ v║ ║2w- v║ ║2u+ v-w║

Rango y Nulidad de una Matriz

Rango y Nulidad de una Matriz

La dimensión común del espacio renglón y del espacio columna de una matriz A se denomina rango y se denota rango (A), la dimensión del espacio nulo de A se llama nulidad y se denota nulidad (A).

Propiedad

Rango (A)= Rango (A^T)

Teorema de la dimensión

Si es una matriz A con n columnas, entonces:

Rango (A) + nulidad (A) = n

El procedimiento para calcular el rango de una matriz es el siguiente

Se utiliza los procesos elementales por filas para transformar A en una matriz B en forma escalonada.

El rango de A es igual al número de filas no nulas (aquellas que se lograron escalonar).

Ejemplo

Sea A. determinar su rango y nulidad

Por procesos elementales

–f₁+f₂→f_{2 ^} –f₁+f₃→f₃ f₂+f₃→f₃

rango (A)= 2

Ejercicios

Calcule el rango y la nulidad de A

En cada caso usa la información que proporciona la tabla para encontrar la nulidad de Ay A^T

	a	b	c	d	e	f	g
Tamaño de A	3x3	3x3	3x3	5x9	9x5	4x4	6x2
Rgo A	3	2	1	2	2	0	2

Base y Dimensión

Espacio Vectorial

Base y Dimensión



Si V es cualquier espacio vectorial y S ={v₁ ,v₂,…….v_n} es un conjunto de vectores en V, entonces S se llama base de V si se cumplen las siguientes condiciones:

1. S es linealmente independiente
   
2. S genera V
   

Reciben el nombre de base natural o canónica

Ejemplo

El conjunto S={ v₁,v₂,v₃,v₄}, donde v₁=(1,0,1,0),v₂=(o,1,-1,2),v₃=(0,2,2,1), V₄=(1,0,0,1) es una base para R⁴



En primer lugar hay que demostrar que es linealmente independiente,

C₁ v₁ +c₂ v₂ + c₃ v₃ + c₄ v₄ =0

Se puede efectuar como se realizó para independencia lineal construyendo la matriz. Es válido, además resolver el determinante puesto que una de las condiciones para formar la base es el número de vectores que la forman. Si el determinante es distinto de cero (0) se dice que es independiente lineal por lo tanto forman la base, mientras que el resultado si es igual a cero no forman base. (Recordar las propiedades de los determinantes)

Resolver el determinante factible si la matriz generada posee una dimensión que lo permita, es decir menos cálculo que por otro método. La matriz generada siempre es cuadrada sino no sería base



Se realiza la eliminación guassiana –f₁ +f₄~f₄



Se ha triangulado la matriz por lo tanto forman base.



La dimensión de un espacio vectorial no nulo es el número de vectores en una base V. Se simboliza dim V



Ejemplo

1. La dimensión de R² es 2, la dimensión de R³ es tres.
   
2. 
   
   En el ejemplo de base se puede decir que dim V = 4
   
   
   
   

Espacio vectorial

Espacio vectorial

1. Independencia Lineal.
   

      Los vectores v₁, v₂, …..v_n de un espacio vectorial son linealmente dependientes si existen constantes c₁, c₂,……..c_n no todas iguales a cero que satisfagan la siguiente expresión (son dependientes si aparte del cero hay otras respuestas, se recuerda que el sistema de ecuaciones generado en esta ocasión es homogéneo):

C₁ v₁ + c ₂v₂+……c_n v_n =0

      En caso contrario se dice que v₁, v₂, …..v_n son linealmente independientes. Es decir que se debe cumplir la ecuación anterior y los valores de c₁ = c₂=…….=.c_n=0. La única posibilidad de combinación lineal de ellos es que sean iguales a cero.



Ejemplo:

• Determinar si los vectores (-1,1,0,0) y (-2,0,1,1) son linealmente independientes entre si.
  

Formando la ecuación

C₁ (-1,1,0,0) + c₂ (-2,0,1,1)=(0,0,0,0)

-c₁ -2c₂ =0

C₁+ 0c₂ =0

C₂=0

C₂=0

         La única solución de este sistema es c₁ = c₂=0 




   Otro método para resolver este tipo de ejercicios es el siguiente: 


Cada vector es una fila de una matriz a la cual se le escalonará por eliminación gaussiana. Retomando el ejemplo anterior

-2f₁ +f₂ → f₂

Se puede llegar a la conclusión que son linealmente independientes, ya que se pudo escalonar la matriz. De caso contrario que una de las filas de la matriz se anulara la conclusión sería dependencia lineal. 

•      Considerando los vectores
  

p₁ (t)= t² + t + 2 p₂ (t)= 2t² + t p₃ (t)= 3t² + 2t + 2

son linealmente independientes o no

Como se anuló la tercera fila esto indica dependencia lineal entre los vectores.

Nota: este espacio vectorial se refiere a polinomios de segundo orden, donde se deben agrupar por el grado, es decir lineales con lineales, independientes con independientes y los elementos que no encuentran presentes se les deben colocar cero (0).

Podran encontrar mas ejercicios en el siguiente enlace.
_{Algebra lineal Bernard Kolman pág 301}

Transformación Lineal

Transformación Lineal

Definición

Si T: V→W es una función de un espacio vectorial V a un espacio vectorial W, entonces T se llama transformación lineal de V a W, si para todos los valores u y v y los escalares c, se define que

1. T(u+v)=Tu+Tv
   
2. T(cu)= cTu
   

En casos especiales T: V→V es decir el mismo espacio vectorialse llama operador lineal.



Propiedades

Si T: V→W

1. T(0)=0
   
2. T(-v)= -T(v)
   
3. T(u-v)= T(u)-T(v)
   

Ejemplo

Por medio de la definición de transformación lineal

1.- Sea V=(-∞,∞) el espacio vectorial de funciones de primera derivada continuas sobre (-∞,∞) y W= F(-∞,∞) el espacio vectorial de todas las funciones con valores reales definidas sobre (-∞,∞)

T: V→W

D(f) = fx'

1. 
   
   T(f+g)= Tf +Tg
   
   (fx+gx)'= (fx)' +(gx)'
   
   Esto se cumple
   
   
2. 
   
   T(cf)= cT(fx)
   
   (cfx)'=c(fx)'
   
   

Esto también se cumple por lo tanto es transformación lineal.

2.- Si T: Mnn→R

T(A)= A

1. T(A+B)≠ T(A)+T(B)
   

A+B ≠ A+ B

1. TcA ≠ cTA
   

cA ≠ cA

Como no se cumplen ninguna de los dos axiomas, por lo tanto no es transformación lineal.

Ejercicios

1.-Si T: Mnn→R

T(A)= tr A

2.- Si V→R donde V es un espacio con producto interior y Tu = ║u║.


Mas ejercicios

Espacio Vectorial

Combinación Lineal



Un vector w se denomina combinación lineal de los vectores v₁, v₂,……….v_n
Si se puede expresar de la forma

W = k₁ v₁ + k₂ v₂ + k₃ v₃ +……………….+ k_n v_n

donde k_{1 ,} k₂ k₃ ………
k_n son escalares.

Este conjunto de vectores se denota como

gen S ó gen ={ v_1
, v₂ ,v₃ …. v_n }

Ejemplo

1.-Todo vector v={a, b, c } en R³ se puede expresar como una combinación de los vectores estándar básicos

i=(1,0,0) , j=(0,1,0) , k=(0,0,1)

v= (a, b, c) = a (1,0,0) + b (0,1,0) + c (0,0,1) = ai + bj +ck

2.- Considerar los vectores u=(1,2,-1), y v=(6,4,2) en R³. Demostrar que w=(9,2,7) es una combinación lineal de u y v, y que w=(4,-1,8) no lo es.



Hay que encontrar los escalares que satisfacen la ecuación siguiente:

W= k₁ u + k₂ v

1. 
   
   (9,2,7)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)
   
   
   
   (9,2,7)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂ ,4 k₂ ,2 k₂ )
   
   
   
   Igualando
   
   
   
   9= k₁ +6k₂
   
   2= 2k₁ +4k₂
   
   7 = -k₁ +2k₂
   
   Resolviendo el sistema k₁ = -3 k₂ = 2
   
   La respuesta es:
   
   

W= -3 u +3 v

1. 
   
   (4,-1,8)= k₁ (1,2,-1) + k₂ (6,4,2)
   
   (4,-1,8)= (1 k₁, 2 k₁,-1k₁) + (6 k₂ ,4 k₂ ,2 k₂ )
   
   
   
   Igualando
   
   
   
   4= k₁ +6k₂
   
   -1= 2k₁ +4k₂
   
   8= -k₁ +2k₂
   
   
   
   Resolviendo el sistema se llega a la conclusión que es inconsistente, por lo tanto no es combinación lineal.
   
   
   
   

Ejercicio

1.-Determinar si el vector v pertenece a gen = { v₁ v₂,v₃} donde

V₁=(1,0.0,1) v₂=(1,-1,0.0) v₃=(0,1,2,2)

1. V=(-1,4,2,2)
   
2. V =(1,2,01)
   
3. V=(-1,1,4,3)
   
4. V=(0.1.10)
   

2.- Cual de los siguientes vectores son combinación lineales de

Espacio Vectorial y sub espacio

Espacio Vectorial

Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar que satisfacen las siguientes axiomas:

1. Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
   
2. u + v = v + u
   Ley conmutativa
   
3. u + (v + w) = (u + v) + w
   Ley Asociativa
   
4. Existe un elemento 0 en tal u
   que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u. Elemento Neutro para la suma
   
5. Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0
   Elemento Simétrico o Negativo
   
6. Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
   
7. c (u + v) = cu + cv , para todo
   real c y todo elemento u y v en V. Ley Distributiva
   
8. (c+d) u = cu + du
   para todo número real c y d
   y todo elemento u en V.
   Ley Distributiva
   
9. c.(du) = (cd) u para todo número real c y d
   y todo elemento u en V. Ley asociativa de la multiplicación
   
10. 1u =u, para u en V.
    

Ejemplos:

1. Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
   

   (X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)
   

   c(x,y,0) = (cx, cy 0)
   

   
   

   Comprobando cada axioma:
   

   
   

• Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
  

(X, y,0) + (x^', y',0^'') = ( x +x , y + y, 0)

• (X, y,0) + (x^', y',0^'') = (x^'' ,y^',0) + (x, y, 0)
  

( x +x , y + y, 0) = (x^' +x, y^'+y, 0)

• {(X, y,0) + (x^', y',0^'')} + (x₂, y₂, 0) = (X, y,0) +{ (x^', y',0^'') + (x₂, y_2, 0)}
  

  (x +x , y + y, 0) + (x₂,y₂,0)= (X, y,0) + (x^'+x₂, y^'+y₂ , 0 )
  

  (x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0) =(x+x'+x₂, y+y'+y₂, 0)
  

• (X, y,0) + (0,0,0^') = ( x , y, 0)
  

  
  

• (X, y,0) - (x,y,0^'') = ( 0 ,0, 0)
  
• Se cumple el sexto axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
  

  c(x,y,0) = (cx, cy 0)
  

  • c{(X, y,0) + (x^', y',0^'')} = c(x,y,0) + c(x',y',0)
    

    c( x +x , y + y, 0) = (cx, cy, 0) + (cx' , cy', 0)
    

    (c[x+x'], c[y+y'], 0)= (cx+cx', cy+cy' ,0)
    

  • (c+d) (x,y,0) = c(x, y, 0) + d(x, y,0)
    

    {(c+d) x, (c+d)y , 0) = (cx+dx , cy+dy ,0)
    

    
    

  • (cd) (x,y,0) = c( d(x, y,0))
    

    {(cd) x, (cd)y , 0) = (cdx , cdy ,0)
    

    
    

  • 1(x,y,0) = (x, y, 0)
    

En conclusión es un espacio vectorial puesto que cumple los 10 axiomas

1. Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
   

   (X, y,z) + (x^', y',z^'') = ( x +x , y + y, z+z)
   

   c(x,y,z) = (cx, y z)
   

   Es fácil comprobar los primeros axiomas puesto que cumplen las propiedades de los números,
   

   Comenzar por el axioma 7
   

• c{(X, y,z) + (x^', y',z^'')} = c(x,y,z) + c(x',y',z')
  

  c( x +x' , y + y', z+z') = (cx, y, z) + (cx' , y', z')
  

  (c[x+x'], [y+y'], [z+z'[)= (cx+cx', y+y' ,z+z')
  

  
  

• (c+d) (x,y,z) ≠ c(x, y, z) + d(x, y,z)
  

  {(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , y+y , z+z)
  

  {(c+d) x, y , z)} ≠ (cx+dx , 2 y ,2z)
  

  no se cumple este axioma
  

  
  

  Ejercicios.

• Algebra lineal una introduccion moderna David Poole pag 445
  

  Algebra Lineal Escrito por Romano Aportela, Pedro,Lozano Mora, Claudia

  Sub espacio Vectorial
  

  
  

  Sea un espacio vectorial V y W un subconjunto no vacio de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un sub espacio vectorial.
  

  
  

1. Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
   
2. Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
   

Ejemplo

Cuál de los siguientes
subconjuntos de
R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:

1. (a,b,2)
   
2. (a,b,c) donde c= a+b
   

a (a,b,2) + (a₁,b₁,2) = (a+a, b+b, 2+2)

no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial

b ./ (a b, c) + (a₁,b₁,c) = (a+a₁, b+b₁, c+c₁)

c= a + b y c₁= a₁+b₁

c+ c₁ = (a+a₁)+ (b+b₁)i se cumple

K(a,b,c) = (Ka, Kb, kc)

C= a+b y k c = ka +k b también se cumple.

Bernard Kolman Algebra lineal

Ejercicios de Espacio Vectorial

Ejercicios de Espacio Vectorial

1.-Sea (x,y,z) en R3
(x, y, z) + (x’,y’,z’) = (x’,y+y’,z’)


C(x, y, z) = (cx, cy, cz)


2.- Sea (x,y,z) en R3
(x, y, z) + (x’,y’,z’) = (x+x’,y+y’,z+z’)


C(x, y, z) = (x, 1, z)


3.- El conjunto de los números reales positivos u con operaciones u+v = u.v
Y cu =  uc


4.- El conjunto de los números reales definidos por operaciones
u+v = 2 u-v y cu = cu


5.- El conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x,y) con adición en R2 y la multiplicación por un escalar a(x,y) = (x, y)


6.- El conjunto de todos los pares ordenados de números reales (x,y) con las operaciones
(x, y) + (x’,y’) = (x+x’,y+y’)


C(x, y,) = (0, 0)


7.-V es el conjunto de todos los polinomios de la forma at2+ bt +c, donde a, b y c son números reales con b=a+1


(at2 + bt +c) + (a1 t2+ b1 t +c1) = (a+a1) t2 + (b+b1) t+ (c+c1)


r (at2 + bt +c)= rat2+ rbt + rc


8.- El conjunto V de todas las matrices 2x2, la adición usual M22 y la multiplicación por un escalar definida por cA=c AT.

tipos de matrices

Tipos de Matrices

Tipo de matriz	Definición	Ejemplo
VECTOR FILA	Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
VECTOR COLUMNA	Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR	Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA	Dada una matriz A, se llama traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
OPUESTA	La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA	Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA	Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1 Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal tr A.
SIMÉTRICA	Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRICA	Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
DIAGONAL	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
ESCALAR	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD	Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR	Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
ORTOGONAL	Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal. El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
NORMAL	Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
INVERSA	Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A-1 = A-1·A = I