Un espacio vectorial real es un conjunto de V con dos operaciones básicas adición entre vectores y multiplicación por un escalar que satisfacen las siguientes axiomas:
Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
u + v = v + u Ley conmutativa
u + (v + w) = (u + v) + w Ley Asociativa
Existe un elemento 0 en tal u que u + 0 = 0 + u = u, para todo valor de u. Elemento Neutro para la suma
Para cada u en V existe un elemento – u en V t al que u + (-u)=0 Elemento Simétrico o Negativo
Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
c (u + v) = cu + cv , para todo real c y todo elemento u y v en V. Ley Distributiva
(c+d) u = cu + du para todo número real c y d y todo elemento u en V. Ley Distributiva
c.(du) = (cd) u para todo número real c y d y todo elemento u en V. Ley asociativa de la multiplicación
1u =u, para u en V.
Ejemplos:
Considerando el conjunto V de todas las tercia ordenadas de números reales de la forma (x, y, 0) y se define las operaciones como
(X, y,0) + (x', y',0'') = ( x +x , y + y, 0)
c(x,y,0) = (cx, cy 0)
Comprobando cada axioma:
Se cumple el primer axioma puesto que dada la operación la forma se mantiene, lo que implica que pertenece a V
Sea un espacio vectorial V y W un subconjunto no vacio de V. Si W es un espacio vectorial con respecto de las operaciones en V, entonces W es un sub espacio vectorial.
Si u y v son elementos cualquiera en V, entonces u + v pertenece a V Ley de cerradura
Si u es cualquier elemento de V y c es cualquier número real, entonces c.u pertenece a V Ley de cerradura
Ejemplo
Cuál de los siguientes subconjuntos de R son sub espacios de R. El conjunto de la forma:
(a,b,2)
(a,b,c) donde c= a+b
a (a,b,2) + (a1,b1,2) = (a+a, b+b, 2+2)
no cumple con la forma por lo tanto no es sub espacio vectorial
Aquella matriz que tiene una sola fila, siendo su orden 1×n
VECTOR COLUMNA
Aquella matriz que tiene una sola columna, siendo su orden m×1
RECTANGULAR
Aquella matriz que tiene distinto número de filas que de columnas, siendo su orden m×n ,
TRASPUESTA
Dada una matriz A, se llama traspuesta de Aa la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas. Se representa por At ó AT
OPUESTA
La matriz opuesta de una dada es la que resulta de sustituir cada elemento por su opuesto. La opuesta de A es -A.
NULA
Si todos sus elementos son cero. También se denomina matriz cero y se denota por 0m×n
CUADRADA
Aquella matriz que tiene igual número de filas que de columnas, m = n, diciéndose que la matriz es de orden n. Diagonal principal : son los elementos a11 , a22 , ..., ann Diagonal secundaria : son los elementos aij con i+j = n+1
Traza de una matriz cuadrada : es la suma de los elementos de la diagonal principal trA.
SIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a su traspuesta. A = At , aij = aji
ANTISIMÉTRICA
Es una matriz cuadrada que es igual a la opuesta de su traspuesta. A = -At , aij = -aji Necesariamente aii = 0
DIAGONAL
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal
ESCALAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales
IDENTIDAD
Es una matriz cuadrada que tiene todos sus elementos nulos excepto los de la diagonal principal que son iguales a 1. También se denomina matriz unidad.
TRIANGULAR
Es una matriz cuadrada que tiene todos los elementos por encima (por debajo) de la diagonal principal nulos.
ORTOGONAL
Una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible: A-1 = AT La inversa de una matriz ortogonal es una matriz ortogonal. El producto de dos matrices ortogonales es una matriz ortogonal.
El determinante de una matriz ortogonal vale +1 ó -1.
NORMAL
Una matriz es normal si conmuta con su traspuesta. Las matrices simétricas, antisimétricas u ortogonales son necesariamente normales.
INVERSA
Decimos que una matriz cuadrada A tiene inversa, A-1, si se verifica que : A·A-1 = A-1·A = I
Dadas dos matrices de la mismo orden, A=(aij) y B=(bij), se define la matriz suma como: A+B=(aij+bij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.
Propiedades de la suma de matrices
Interna:
La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.
Asociativa:
A + (B + C) = (A + B) + C
Elemento neutro:
A + 0 = A
Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.
Elemento opuesto:
A + (-A) = O
La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.
Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas
(At)t = A
(A + B)t = At+ Bt
(α ·A)t = α· At
(A · B)t = Bt · At
Producto de un escalar por una matriz
Dada una matriz A=(aij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.
kA=(k aij)
Propiedades
Asociativa
a · (b · A) = (a · b) · A A Mmxn, a, b son constantes
Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.
Mm x n x Mn x p = M m x p
El elemento cij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.
Propiedades del producto de matrices
Asociativa:
A · (B · C) = (A · B) · C
Elemento neutro:
A · I = A
Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.
Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A-1, seguiremos los siguientes pasos:
1º Construir una matriz del tipo M = (A I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.
Considerando una matriz 3x3 arbitraria
Se amplía con la matriz identidad de orden 3.
2º Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda,A, en la matriz identidad, queahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A-1.
Forma matricial de un sistema lineal de ecuaciones
Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema de la forma
ç
Donde:
A= es la matriz de coeficientes del sistema.
X= es la matriz de incógnitas.
B= es la matriz de términos independientes.
Luego un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente como A·X=B Si la matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A·X=B => A-1·A·X=A-1·B => X=A-1·B·.
Por tanto resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices consiste en poner el sistema en forma matricial. Lasolución, si la hay, será el producto de la inversa de la matriz de coeficiente (A-1) por la matriz de términos independientes(B)
