Algebra de Matrices

Algebra de Matrices

Suma de Matrices

Dadas dos matrices de la mismo orden, A=(a_ij) y B=(b_ij), se define la matriz suma como: A+B=(a_ij+b_ij). Es decir, aquella matriz cuyos elementos se obtienen: sumando los elementos de las dos matrices que ocupan la misma posición.

Propiedades de la suma de matrices

Interna:

La suma de dos matrices de orden m x n es otra matriz dimensión m x n.

Asociativa:

A + (B + C) = (A + B) + C

Elemento neutro:

A + 0 = A

Donde O es la matriz nula de la misma dimensión que la matriz A.

Elemento opuesto:

A + (-A) = O

La matriz opuesta es aquella en que todos los elementos están cambiados de signo.

Conmutativa:

A + B = B + A

Video de explicación de esta operación

Matriz traspuesta

Dada una matriz A, se llama matriz traspuesta de A a la matriz que se obtiene cambiando ordenadamente las filas por las columnas

(A^t)^t = A

(A + B)^t = A^t + B^t

(α ·A)^t = α· A^t

(A · B)^t = B^t · A^t

Producto de un escalar por una matriz

Dada una matriz A=(a_ij) y un número real kR, se define el producto de un número real por una matriz: a la matriz del mismo orden que A, en la que cada elemento está multiplicado por k.

kA=(k a_ij)

Propiedades

Asociativa

a · (b · A) = (a · b) · A A M_mxn, a, b son constantes

Distributiva

a · (A+B) = a · A + a · B A,B M_mxn , a

(a+b) · A = a · A+b · A A M_mxn , a, b

Elemento Neutro

1 · A = A A M_mxn

Traspuesta

(aA)^t = a A^t

Video de explicación

Video 2

Producto de matrices

Dos matrices A y B se dicen multiplicables si el número de columnas de A coincide con el número de filas de B.

M_{m x n} x M_{n x p} = M _{m x p}

El elemento c_ij de la matriz producto se obtiene multiplicando cada elemento de la fila i de la matriz A por cada elemento de la columna j de la matriz B y sumándolos.

Propiedades del producto de matrices

Asociativa:

A · (B · C) = (A · B) · C

Elemento neutro:

A · I = A

Donde I es la matriz identidad del mismo orden que la matriz A.

No es Conmutativa:

A · B ≠ B · A

Distributiva del producto respecto de la suma:

A · (B + C) = A · B + A · C

Matriz inversa

A · A^-1 = A^-1 · A = I

Propiedades

(A · B)^-1 = B^-1 · A^-1

(A^-1)^-1 = A

(k · A)^-1 = k^-1 · A^-1

(A ^t)^-1 = (A ^-1)^t

Video de explicación

Cálculo por el método de Gauss

Sea A una matriz cuadrada de orden n. Para calcular la matriz inversa de A, que denotaremos como A^-1, seguiremos los siguientes pasos:

1º Construir una matriz del tipo M = (A I), es decir, A está en la mitad izquierda de M y la matriz identidad I en la derecha.

Considerando una matriz 3x3 arbitraria

Se amplía con la matriz identidad de orden 3.

2º
Utilizando el método Gauss se transforma la mitad izquierda, A, en la matriz identidad, que ahora está a la derecha, y la matriz que resulte en el lado derecho será la matriz inversa: A^-1.

F₂ - F₁

F₃ + F₂

F₂ - F₃

F₁ + F₂

(-1) F₂

La
matriz
inversa
es:

Otro ejemplo

Video de explicación

Forma matricial de un sistema lineal de ecuaciones

Un sistema lineal de m ecuaciones con n incógnitas es un sistema de la forma

ç

Donde:

A= es la matriz de coeficientes del sistema.
X= es la matriz de incógnitas.
B= es la matriz de términos independientes.
Luego un sistema lineal de ecuaciones se puede expresar matricialmente como A·X=B
Si la matriz de coeficientes es invertible, es decir, posee inversa entonces el sistema tiene solución A·X=B => A^-1·A·X=A^-1·B => X=A^-1·B·.
Por tanto resolver un sistema de ecuaciones a través de matrices consiste en poner el sistema en forma matricial. La solución, si la hay, será el producto de la inversa de la matriz de coeficiente (A^-1) por la matriz de términos independientes (B)

.Video de explicación por Gauss Jordan

Ejercicios

Encontrar la inversa de las siguientes matrices

Si

Despeje x de Ax=b si

Traza de una Matriz

La traza de una matriz cuadrada A de n x n está definida como la suma de los elementos de la diagonal principal de A.

Es decir,

donde aij representa el elemento que está en la fila i ésima y en la columna j ésima de A

Propiedades

Potencia de Matrices

Consiste en multiplicar tantas veces la matriz como lo indica el exponente.

A = ( 1 -2 ) 5 3

A . A = A2 = ( -9 -8 ) 20 -1

Propiedades