Determinantes

EL DETERMINANTE

El determinante es una función que le asigna a una matriz de orden n (cuadrada), un único número real llamado el determinante de la matriz. Si A es una matriz de orden n, el determinante de la matriz A lo denotaremos por det(A) o también por A( las barras no significan valor absoluto). El cálculo se realiza con la permutación de los elementos de la matriz sin repetir filas ni columnas, el signo que se le asigna es por ser par o impar de acuerdo a la ubicación del número según la columna que ocupan

Determinante de una matriz de orden 1
Si A es una matriz de orden uno, entonces det(A)=a.

, entonces det(A)=-2 o

,Sientonces det(A)=0 o

Si entonces det(A)=2 o

Menor de una matriz de orden n
Sea A una matriz de orden , se define como el menor M_ij asociado al elemento a_ij de A como el determinante de la matriz que se obtiene al eliminar la fila i y la columna j de la matriz A.

Sea
	el menor asociado a a11.
	el menor asociado a a12.
	el menor asociado a a21.
	el menor asociado a a22.

Cofactor de una Matriz de orden n

El cofactor c_ij asociado al elemento a_ij de A esta dado por c_ij = (-1)^{i +j} │M_ij│ .

	El cofactor asociado al elemento a11.
	El cofactor asociado al elemento a12.
	El cofactor asociado al elemento a21.
	El cofactor asociado al elemento a22.

Determinante de una matriz de orden superior (Método de Lagrange)
Si A es una matriz de orden entonces el determinante de la matriz A es la suma de los elementos de cualquiera de las filas o columnas de A multiplicados por sus respectivos cofactores.

.
Hallar el determinante de la matriz

Previamente se había calculados los cofactores. Este cálculo se realizó con la primera fila

Comprobando que se puede aplicar con cualquier columna a continuación se realizara con la segunda.

│A│= a₁₂ c₁₂ + a₂₂ c₂₂= (-1)(-3) +(1)(2)= 3+2= 5

Se demuestra de esta forma que el resultado del determinante no varía por la selección de una fila o una columna.

Sea

Para determinantes de orden 2 se realiza como regla mnemotécnica la multiplicación en cruz de los elementos. Si se aprecia la permutación de los elementos sin repetir filas ni columnas. Se llega esta fórmula

Calcular el determinante de la matriz

Hallar el determinante de la matriz de orden 3

Solución
Para encontrar el menor se elimina el primer renglón y la primera columna de A y se calcula el determinante de la matriz resultante.

De manera similar, para encontrar el menor, se elimina el primer renglón y la segunda columna de A0 y se calcula el determinante de la matriz resultante.

Para encontrar el menor, se elimina el primer renglón y la tercera columna de A

los cofactores son

el determinante de la matriz A se calcula así

video 1

video 2

Regla de Sarrus

Paso 1 Escriba la matriz A y enseguida las primeras dos columnas de A como se muestra a continuación

a₁₁ a₁₂ a₁₃ │a₁₁ a₁₂

a₂₁ a₂₂ a_23│ a₂₁ a₂₂

a₃₁ a₃₂ a_33│ a₃₁ a₃₂

Paso 2 Calcule los productos indicados por los diferentes colores las flechas (que a continuación se indican). Los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia abajo se toman con signo positivo, mientras los productos correspondientes a las flechas que se dirigen hacia arriba se toman con signo negativo.

+ + + - - -

Paso 3 Sume los productos con los signos adecuados según se determinó en el paso 2

Calcular el determinante de la matriz A del ejemplo 2.5 usando la regla de Sarrus.

Paso 1

Paso 2

Paso 3

OBSERVACIÓN
La regla de Sarrus únicamente se puede utilizar para determinantes de orden 3.
video de explicación
Teorema

Sea A una matriz de orden n, entonces el determinante de A esta dado por

	Desarrollo del i-ésimo renglón
o tal vez
	Desarrollo del j-ésima columna

PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES

1.A^t= A

El determinante de una matriz A y el de su traspuesta A^t son iguales.

2. A=0 Si:

Posee dos filas y columnas iguales

Todos los elementos de una fila y columna son nulos.

Los elementos de una línea son combinación lineal de las otras.

F₃ = F₁ + F₂

3. Un determinante triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal principal..

4. Si en un determinante se cambian entre sí dos líneas paralelas su determinante cambia de signo.

5. Si a los elementos de una línea se le suman los elementos de otra paralela multiplicados previamente por un nº real el valor del determinante no varía.

6. Si se multiplica un determinante por un número real, queda multiplicado por dicho número cualquier línea, pero sólo una.

7. Si todos los elementos de una fila o columna están formados por dos sumandos, dicho determinante se descompone en la suma de dos determinantes.

8. A·B =A·B

El determinante de un producto es igual al producto de los determinantes.

video de explicación

Cálculo de un determinante de cualquier orden

Consiste en conseguir que una de las líneas del determinante esté formada por elementos nulos, menos uno: el elemento base o pivote, que valdrá 1 ó -1.

los siguientes pasos:

1.Si algún elemento del determinante vale la unidad, se elige una de las dos líneas: la fila o la columna, que contienen a dicho elemento (se debe escoger aquella que contenga el mayor número posible de elementos nulos).

2.En caso negativo:

1. Nos fijamos en una línea que contenga el mayor número posible de elementos nulos y operaremos para que uno de los elementos de esa línea sea un 1 ó -1 (operando con alguna línea paralela).

2.Dividiendo la línea por uno de sus elementos, por lo cual deberíamos multiplicar el determinante por dicho elemento para que su valor no varie. Es decir sacamos factor común en una línea de uno de sus elementos.

3.Tomando como referencia el elemento base, operaremos de modo que todos los elementos de la fila o columna, donde se encuentre, sean ceros.

4. Tomamos el adjunto del elemento base, con lo que obtenemos un determinante de orden inferior en una unidad al original.

= 2(-58)

video de explicación